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发表于 2025-12-24 13:29:39
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证明方法：
设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。
因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。
由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。
因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
有限覆盖定理：
定理:设H为闭区间[a,b]的一个【无限】开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]。
开覆盖的定义:设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，【即H中每一个元素都是形如【a,b】的开区间】。
若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。
若H中的开区间的个数是有限【无限】的，那么就称H为S的一个有限【无限】覆盖。
有限覆盖定理是实数定理。确界定理。单调有界数列必收敛。闭区间套定理。聚点定理。凝聚定理的逆否命题。
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