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正十七边形
1796年高斯找到了用圆规和直尺作正17边形的方法,并对此作了证明.该方法也具有创新意义.这个问题本身难度很高.早在古希腊人那里,欧几里得虽然指出了用圆规直尺可以画出正3边形、正4边形、正5边形和正15边形,以及反复二等分这些边所求得的正多边形.但是他们对于正7、9、11、13、14、17边形的作图问题却束手无策.正17边形能否作图的问题2000年来早已成为著名的数学难题.高斯成功地找到了只用圆规和直尺将其画出的方法,并用代数方法构思了它的证明.他指出,作一个正17边形相当于解方程x16+x15+…+x+1=0.因为17是素数,16是2的4次方,所以此方程可简化为一串二次方程ax2+bx+c=0,其中a,b,c为已知数.因为人们早已证明用圆规和直尺作图法可以求解二次方程,于是正17边形可用圆规和直尺作出的问题便得以证明.高斯实际上是把一个几何学领域中的问题移入到代数学领域中去解决,这种方法为以后的数学家所模仿.高斯后来进一步考察了形如xp-1=0的方程得出正多边形作图的更一般结果,其中p是素数.他指出,如果p-1没有异于2的因子,则正p边形可用圆规和直尺作出.因此,正3、5、17、257等多边形是可以用圆规和直尺作图的,而正7、9、11、14边形是不能用圆规和直尺作图的. |
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